练习题
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求解以下方程，答案保留3位有效数字：
a) \(2^x = 75\)
b) \(3^x = 10\)
c) \(5^x = 2\)
d) \(4^{2x} = 100\)
e) \(9^{x+5} = 50\)
对于形如 \(a^x = b\) 的方程，使用公式 \(x = \log_a b\)。
求解以下方程，答案保留3位有效数字：
a) \(7^{2x-1} = 23\)
b) \(11^{3x-2} = 65\)
c) \(2^{3-2x} = 88\)
d) \(6^{x+3} = 150\)
e) \(8^{2x+1} = 200\)
先化简指数部分，然后使用对数求解。
求解以下二次指数方程，答案保留3位有效数字：
a) \(2^{2x} - 6(2^x) + 5 = 0\)
b) \(3^{2x} - 15(3^x) + 44 = 0\)
c) \(5^{2x} - 6(5^x) - 7 = 0\)
d) \(3^{2x} + 3^{x+1} - 10 = 0\)
使用换元法：设 \(y = a^x\)，将指数方程转化为二次方程。
求解以下二次指数方程，答案保留3位有效数字：
a) \(7^{2x} + 12 = 7^{x+1}\)
b) \(2^{2x} + 3(2^x) - 4 = 0\)
c) \(3^{2x+1} - 26(3^x) - 9 = 0\)
d) \(4(3^{2x+1}) + 17(3^x) - 7 = 0\)
注意指数运算的性质，如 \(a^{x+1} = a \cdot a^x\)。
求解以下不同底数的方程，答案保留4位小数：
a) \(5^x = 2^{x+1}\)
b) \(3^{x+5} = 6^x\)
c) \(7^{x+1} = 3^{x+2}\)
d) \(2^{x+3} = 5^{x-1}\)
使用"两边取对数"的方法，两边的对数必须使用相同的底数。
a) \(2^x = 75 \Rightarrow x = \log_2 75 = 6.23\)
b) \(3^x = 10 \Rightarrow x = \log_3 10 = 2.10\)
c) \(5^x = 2 \Rightarrow x = \log_5 2 = 0.431\)
d) \(4^{2x} = 100 \Rightarrow 2x = \log_4 100 \Rightarrow x = \frac{\log_4 100}{2} = 1.66\)
e) \(9^{x+5} = 50 \Rightarrow x+5 = \log_9 50 \Rightarrow x = \log_9 50 - 5 = -3.32\)
对于形如 \(a^x = b\) 的方程，直接使用公式 \(x = \log_a b\)。对于复杂的情况，先化简再取对数。
a) \(7^{2x-1} = 23 \Rightarrow 2x-1 = \log_7 23 \Rightarrow x = \frac{\log_7 23 + 1}{2} = 0.896\)
b) \(11^{3x-2} = 65 \Rightarrow 3x-2 = \log_{11} 65 \Rightarrow x = \frac{\log_{11} 65 + 2}{3} = 1.12\)
c) \(2^{3-2x} = 88 \Rightarrow 3-2x = \log_2 88 \Rightarrow x = \frac{3 - \log_2 88}{2} = -2.46\)
d) \(6^{x+3} = 150 \Rightarrow x+3 = \log_6 150 \Rightarrow x = \log_6 150 - 3 = -0.523\)
e) \(8^{2x+1} = 200 \Rightarrow 2x+1 = \log_8 200 \Rightarrow x = \frac{\log_8 200 - 1}{2} = 0.736\)
对于复杂指数方程，先化简指数部分，然后取对数求解。
a) 设 \(y = 2^x\)，则 \(y^2 - 6y + 5 = 0\)，解得 \(y = 1\) 或 \(y = 5\)
\(2^x = 1 \Rightarrow x = 0\)；\(2^x = 5 \Rightarrow x = \log_2 5 = 2.32\)
b) 设 \(y = 3^x\)，则 \(y^2 - 15y + 44 = 0\)，解得 \(y = 4\) 或 \(y = 11\)
\(3^x = 4 \Rightarrow x = \log_3 4 = 1.26\)；\(3^x = 11 \Rightarrow x = \log_3 11 = 2.18\)
c) 设 \(y = 5^x\)，则 \(y^2 - 6y - 7 = 0\)，解得 \(y = 7\) 或 \(y = -1\)（舍去）
\(5^x = 7 \Rightarrow x = \log_5 7 = 1.21\)
d) 设 \(y = 3^x\)，则 \(y^2 + 3y - 10 = 0\)，解得 \(y = 2\) 或 \(y = -5\)（舍去）
\(3^x = 2 \Rightarrow x = \log_3 2 = 0.631\)
使用换元法：设 \(y = a^x\)，将指数方程转化为二次方程，求解后再求对应的 \(x\) 值。
a) \(7^{2x} + 12 = 7^{x+1} = 7 \cdot 7^x\)，设 \(y = 7^x\)，则 \(y^2 + 12 = 7y\)
\(y^2 - 7y + 12 = 0\)，解得 \(y = 3\) 或 \(y = 4\)
\(7^x = 3 \Rightarrow x = \log_7 3 = 0.565\)；\(7^x = 4 \Rightarrow x = \log_7 4 = 0.712\)
b) 设 \(y = 2^x\)，则 \(y^2 + 3y - 4 = 0\)，解得 \(y = 1\) 或 \(y = -4\)（舍去）
\(2^x = 1 \Rightarrow x = 0\)
c) 设 \(y = 3^x\)，则 \(3y^2 - 26y - 9 = 0\)，解得 \(y = 9\) 或 \(y = -\frac{1}{3}\)（舍去）
\(3^x = 9 \Rightarrow x = 2\)
d) 设 \(y = 3^x\)，则 \(12y^2 + 17y - 7 = 0\)，解得 \(y = \frac{1}{3}\) 或 \(y = -\frac{7}{4}\)（舍去）
\(3^x = \frac{1}{3} \Rightarrow x = -1\)
注意指数运算的性质，如 \(a^{x+1} = a \cdot a^x\)，然后使用换元法求解。
a) \(5^x = 2^{x+1}\)，两边取对数：\(x\log 5 = (x+1)\log 2\)
\(x\log 5 = x\log 2 + \log 2 \Rightarrow x(\log 5 - \log 2) = \log 2\)
\(x = \frac{\log 2}{\log 5 - \log 2} = 0.7565\)
b) \(3^{x+5} = 6^x\)，两边取对数：\((x+5)\log 3 = x\log 6\)
\(x\log 3 + 5\log 3 = x\log 6 \Rightarrow x(\log 6 - \log 3) = 5\log 3\)
\(x = \frac{5\log 3}{\log 6 - \log 3} = 7.9248\)
c) \(7^{x+1} = 3^{x+2}\)，两边取对数：\((x+1)\log 7 = (x+2)\log 3\)
\(x\log 7 + \log 7 = x\log 3 + 2\log 3 \Rightarrow x(\log 7 - \log 3) = 2\log 3 - \log 7\)
\(x = \frac{2\log 3 - \log 7}{\log 7 - \log 3} = 0.1887\)
d) \(2^{x+3} = 5^{x-1}\)，两边取对数：\((x+3)\log 2 = (x-1)\log 5\)
\(x\log 2 + 3\log 2 = x\log 5 - \log 5 \Rightarrow x(\log 2 - \log 5) = -\log 5 - 3\log 2\)
\(x = \frac{-\log 5 - 3\log 2}{\log 2 - \log 5} = 2.3219\)
使用"两边取对数"的方法，两边的对数必须使用相同的底数，然后利用对数的幂法则化简。